Евклидова геометрия
Евклидова геометрия - это система в математике. Люди считают, что Евклид был первым, кто ее описал, поэтому она носит его имя. Впервые он описал ее в своем учебнике "Элементы". Эта книга была первым систематическим обсуждением геометрии в том виде, в котором она была известна в то время. В книге Евклид сначала принимает несколько аксиом. Они составляют основу для последующих работ. Они интуитивно понятны. Начиная с этих аксиом, можно доказать другие теоремы.
В 19 веке были найдены другие формы геометрии. Это неевклидовы геометрии. Карл Фридрих Гаусс, Янош Боляй и Николай Иванович Лобачевский были некоторыми людьми, которые разработали такие геометрии. Очень часто в них используется не постулат о параллельных, а другие четыре аксиомы.
Аксиомы
Евклид делает следующие предположения. Это аксиомы, и их не нужно доказывать.
- Любые две точки можно соединить прямой линией
- Любой отрезок прямой линии можно удлинить (продлить) до бесконечности, тогда он станет прямой линией.
- С помощью отрезка прямой линии можно начертить окружность так, чтобы одна конечная точка отрезка была центром окружности, а другая лежала на окружности. Отрезок прямой становится радиусом окружности.
- Все прямые углы конгруэнтны
- Постулат параллельности. Если две прямые пересекают третью так, что сумма внутренних углов с одной стороны меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересечься с этой стороны, если их продлить достаточно далеко.
Статус
Евклидова геометрия - это теория первого порядка. С ее помощью можно делать и доказывать утверждения типа "Для всех треугольников...". Утверждения типа "Для всех множеств треугольников..." выходят за рамки теории.
Вопросы и ответы
В: Что такое евклидова геометрия?
О: Евклидова геометрия - это система в математике, которая была впервые описана Евклидом в его учебнике "Элементы". Она состоит из нескольких аксиом, которые формируют основу для последующих работ, и другие теоремы могут быть доказаны на основе этих аксиом.
В: Кто написал "Элементы"?
О: Евклид написал книгу "Элементы", которая была первым систематическим обсуждением геометрии, как она была известна в то время.
В: Каковы некоторые примеры неевклидовых геометрий?
О: Неевклидовы геометрии были разработаны Карлом Фридрихом Гауссом, Якносом Боляем и Николаем Ивановичем Лобачевским в 19 веке. В них часто не используется постулат о параллельных, а скорее полагаются на другие четыре аксиомы.
В: Что обсуждается в "Элементах"?
О: В "Элементах" обсуждается геометрия, как она была известна в то время, и дается ее систематическое обсуждение.
В: Сколько аксиом имеет евклидова геометрия?
О: Евклидова геометрия имеет несколько аксиом, которые составляют ее основу для последующих работ.
В: Кто разработал неевклидовы геометрии?
О: Неевклидовы геометрии были разработаны Карлом Фридрихом Гауссом, Якносом Боляем и Николаем Ивановичем Лобачевским в 19 веке.
В: В неевклидовой геометрии используются все пять аксиом или только четыре?
О: Неевклидова геометрия часто не использует постулат о параллельных, а опирается только на четыре из пяти аксиом.
