Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи - это последовательность чисел в математике, названная в честь Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи. Фибоначчи написал в 1202 году книгу под названием "Liber Abaci" ("Книга вычислений"), которая познакомила западноевропейскую математику с образцом чисел, хотя математики в Индии уже знали об этом.
Первое число шаблона равно 0, второе - 1, а каждое последующее равно сложению двух чисел прямо перед ним вместе. Например, 0+1=1 и 3+5=8. Эта последовательность продолжается вечно.
Это может быть записано как рекуррентное отношение,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
Для того чтобы это имело смысл, необходимо указать как минимум две отправные точки. Здесь F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
и F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Спираль Фибоначчи, созданная путем прочерчивания линии через квадраты в плитке Фибоначчи; для этого используются квадраты размеров 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34; см. раздел Золотая спираль.
числа Фибоначчи в природе
Числа Фибоначчи связаны с золотым сечением, которое проявляется во многих местах в зданиях и в природе. В качестве примера можно привести узор из листьев на стебле, части ананаса, цветение артишока, разворачивание папоротника и расположение сосновой шишки. Номера Фибоначчи также встречаются в родословной медоносных пчел.
Головка подсолнечника с соцветиями в спиралях 34 и 55 снаружи
формула Бине
n-е число Фибоначчи может быть записано в виде золотого сечения. Это позволяет избежать необходимости использования рекурсии для вычисления чисел Фибоначчи, что может занять много времени на компьютере.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi)^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Где φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} 
золотое сечение.
Вопросы и ответы
В: Что такое последовательность Фибоначчи?
О: Последовательность Фибоначчи - это последовательность чисел в математике, названная в честь Леонардо из Пизы, известного как Фибоначчи. Она начинается с 0 и 1, и каждое последующее число равно сложению двух чисел, стоящих непосредственно перед ним.
В: Кто ввел эту схему чисел в западноевропейскую математику?
О: Фибоначчи написал в 1202 году книгу под названием Liber Abaci ("Книга вычислений"), которая ввела эту схему чисел в западноевропейскую математику, хотя математики в Индии уже знали о ней.
В: Как можно записать последовательность Фибоначчи?
О: Последовательность Фибоначчи можно записать в виде рекуррентного соотношения, где F_n = F_n-1 + F_n-2 для n ≥ 2.
В: Каковы начальные точки для этого рекуррентного соотношения?
О: Чтобы это имело смысл, необходимо задать, по крайней мере, две начальные точки. Здесь F_0 = 0 и F_1 = 1.
В: Продолжается ли последовательность Фибоначчи вечно?
О: Да, последовательность продолжается вечно.
В: Где математики впервые узнали об этой последовательности чисел? О: Математики в Индии уже были знакомы с этой схемой чисел до того, как она была представлена в Западной Европе Леонардо из Пизы (Фибоначчи).
