Некоторые математики считали, что пятый постулат Евклида намного длиннее и сложнее остальных четырех постулатов. Многие из них считали, что его можно доказать из других более простых аксиом. Некоторые математики объявили, что доказали этот постулат из более простых постулатов, но оказалось, что все они ошиблись.
Аксиома Плейфэра
Другое более современное предложение, известное как аксиома Плейфера, аналогично пятому постулату Евклида. Она гласит, что:
Если дана прямая линия и точка, не лежащая на этой линии, то через эту точку можно провести только одну прямую, которая не встретится с другой прямой.
В действительности, математики обнаружили, что эта аксиома не только похожа на пятый постулат Евклида, но и имеет точно такие же следствия. С математической точки зрения эти два предложения называются "эквивалентными". Сегодня аксиома Плейфера используется математиками чаще, чем оригинальный параллельный постулат Евклида.
Неевклидова геометрия
В конце концов, некоторые математики попытались построить новые геометрии без использования аксиом. Один из видов неевклидовой геометрии называется эллиптической геометрией. В эллиптической геометрии постулат параллельности заменяется аксиомой, которая гласит, что:
Если дана прямая линия и точка, не лежащая на этой линии, то через эту точку нельзя провести прямую линию, которая в конечном итоге не пересечет другую прямую линию.
Математики обнаружили, что, заменив пятый постулат Евклида этой аксиомой, они все равно смогли доказать многие другие теоремы Евклида. Один из способов представить себе эллиптическую геометрию - подумать о поверхности глобуса. На глобусе линии долготы кажутся параллельными на экваторе, но все они пересекаются на полюсах. В конце 19 века было доказано, что эллиптическая геометрия непротиворечива. Это доказало, что пятый постулат Евклида не является независимым от других постулатов. После этого математики в основном перестали пытаться доказать пятый постулат на основе остальных четырех постулатов. Вместо этого многие математики начали изучать другие геометрии, которые не следуют пятому постулату Евклида.
Другая аксиома, которой математики иногда заменяют пятую аксиому Евклида, гласит, что:
Если дана прямая линия и точка, не лежащая на этой линии, то через эту точку можно провести как минимум две прямые, которые в итоге не пересекутся с другой прямой.
Это называется гиперболической геометрией.
Другая геометрия просто удаляет пятый постулат Евклида и ничем его не заменяет. Это называется нейтральной геометрией или абсолютной геометрией.
