Гипотеза Пуанкаре
Конъюнктура Пуанкаре - это вопрос о сферах в математике. Она названа в честь Анри Пуанкаре, французского математика и физика, который сформулировал её в 1904 году.
Сфера (также называемая 2-сферой, так как она является 2-мерной поверхностью, хотя обычно ее видят внутри трехмерного пространства) имеет свойство, что любая петля на ней может сжиматься до точки (если резиновая лента обернута вокруг сферы, то ее можно сдвинуть вниз до точки). Математики говорят, что 2-сфера просто связана. Другие пространства не обладают этим свойством, например, пончик: резинку, которая однажды обернута вокруг всего пончика, нельзя сдвинуть вниз до точки, не оставив ее на поверхности.
Математики знали, что это свойство уникально для 2-сферы, в том смысле, что любое другое просто связанное пространство, не имеющее ребер и достаточно маленькое (в математическом плане, то есть компактное), на самом деле является 2-сферой. Однако это уже не так, если убрать представление о малом, так как бесконечно большая плоскость тоже просто связана. Кроме того, обычный диск (круг и его внутренняя часть) просто соединены, но у него есть край (ограничивающий круг).
В догадке задается вопросом, верно ли то же самое в отношении 3-сферы, которая является объектом, живущим естественно в четырех измерениях. Этот вопрос мотивировал большую часть современной математики, особенно в области топологии. Окончательно этот вопрос был решен в 2002 году российским математиком Григорием Перельманом с помощью методов геометрии, показывающих, что это действительно так. За свою работу он был награжден медалью Филдса и премией тысячелетия в размере 1 млн. долл.
Кроме того, конъюнктура Пуанкаре может быть расширена до более высоких размеров: это обобщенная конъюнктура Пуанкаре. Удивительно, но доказать этот факт для более высоких пространственных сфер было проще: в 1960 году Смейл доказал это для 5-сферы, 6-сферы и выше. В 1982 году Фридман доказал, что это верно и для 4-сферы, за что он был награжден медалью Fields Medal.
Вопросы и ответы
В: Что такое гипотеза Пуанкаре?
О: Предположение Пуанкаре - это вопрос о сферах в математике, названный в честь Анри Пуанкаре, в котором спрашивается, верны ли определенные свойства 2-сферы для 3-сферы.
В: Каким свойством обладает 2-сфера?
О: Сфера 2 обладает тем свойством, что любой цикл на ней может быть сжат до точки.
В: Является ли это свойство уникальным для 2-сферы?
О: Это свойство уникально для 2-сферы с точки зрения малых пространств, которые не имеют краев. Однако, бесконечно большая плоскость и обычный диск (круг и его внутренняя часть) просто связаны, но у них есть края.
В: Кто доказал, что это верно для сфер более высокой размерности?
О: В 1960 году Смейл доказал, что это верно для 5-сфер, 6-сфер и выше, а в 1982 году Фридман доказал, что это верно и для 4-мерных сфер.
В: Кто разрешил гипотезу Пуанкаре?
О: Гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом, российским математиком, который использовал методы из геометрии, чтобы показать, что она действительно верна.
В: Какие награды получил Перельман за свою работу?
О: Перельман получил медаль Филдса и премию тысячелетия в размере $1 млн. за свою работу по решению гипотезы Пуанкаре; однако он отказался от обеих наград.
