личность Эйлера

Математическое доказательство идентичности Эйлера с использованием Taylor Series

Многие уравнения могут быть написаны в виде ряда членов, сложенных вместе. Это называется ряд Тейлора

Экспоненциальная функция e x {\displaystyle e^{x}} может быть записана в виде серии Тейлора.

д х = 1 + х + х 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

Также, Сине может быть написано как

грех х = х - х 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

и Косин как

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

Здесь мы видим, как образуется паттерн. e x {\displaystyle e^{x}} похоже на сумму синусов и косинусов серии Тейлора, за исключением того, что все знаки изменены на положительные. Идентичность, которую мы на самом деле доказываем, составляет e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Итак, слева e i x {\displaystyle e^{ix}} чья серия Taylor 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Здесь мы видим закономерность, что каждый второй срок - это срок i, умноженный на синус, а остальные - это срок косинуса.

Справа - cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} чья Тейлорская серия - это косинусная серия Тейлора, плюс я умножаю косинусную серию Тейлора, которая может быть показана в качестве:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!} +{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!} +{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

если мы добавим их вместе, у нас будет

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Поэтому:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Теперь, если мы заменим х на π {\displaystyle \pi }... у нас есть...

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Тогда мы знаем, что

• потому что ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

и

• грех ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Поэтому:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED