Композиция функций
В математике состав функций - это способ сделать новую функцию из двух других функций.
Если мы позволим f быть функцией от X до Y и g быть функцией от Y до Z, то мы скажем, что g, сочиненное с f, написано как g ∘ f функция от X до Z (заметьте, как это обычно написано противоположным образом, как люди ожидают, что это будет, как мы объясним ниже).
Значение f, заданное входом x, записывается как f(x). Значение g ∘ f при вводе x записывается (g ∘ f)(x) и определяется как g(f(x)). (что означает, что наш способ написания g, сочиненный с помощью f, имеет смысл).
Вот еще один пример. Пусть f будет функцией, которая удваивает число (умножает его на 2), а g - функцией, которая вычитает 1 из числа.
Это будет написано как:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g, состоящий из f, будет функцией, которая удваивает число, а затем вычитает из него 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f, состоящий из g, будет функцией, которая вычитает 1 из числа, а затем удваивает его:
Свойства
Функциональный состав может быть доказан ассоциативным, что означает:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h ) 
Функциональный состав, однако, в целом не является коммутативным, что означает:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\neq g\circ f} 
Это видно в первом примере, где (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 и (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Вопросы и ответы
В: Что такое композиция функций?
О: Композиция функций - это способ создания новой функции из двух других функций посредством процесса, подобного цепочке.
В: Как записывается значение g, составленное из f?
О: Значение g в сочетании с f записывается как (g ∘ f)(x), и определяется как g(f(x)).
В: Каковы некоторые примеры функций?
О: Примером может быть функция, которая удваивает число (умножает его на 2), и функция, которая вычитает 1 из числа.
В: Что может быть примером g, составленного из f?
О: Примером g, составленного из f, может быть функция, которая удваивает число, а затем вычитает из него 1. То есть (g ∘ f)(x)=2x-1.
В: Что может быть примером f, составленного с g?
О: Примером f, составленного с g, может быть функция, которая вычитает 1 из числа, а затем удваивает его; это (f ∘ g)(x)=2(x-1).
В: Можно ли обобщить композицию на бинарные отношения?
О: Да, композиция может быть обобщена на бинарные отношения, где она иногда представлена с помощью одного и того же символа (как в R ∘ S).
