Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла в классических формах

Имя	Дифференциальная форма	Интегральная форма
Закон Гаусса:	∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }	∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV}
Закон Гаусса для магнетизма (отсутствие магнитных монополей):	∇ ⋅ B = {\displaystyle0 \nabla \cdot \mathbf {B} =0}	∮ S B ⋅ d A = {\displaystyle0 \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}
Закон индукции Фарадея:	∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} -\oint _{C}\mathbf {B} \times \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l} }=-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
Закон Ампера  (с расширением Максвелла):	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }

где в следующей таблице приведено значение каждого символа и единицы измерения СИ:

Символ	Значение	Единица измерения СИ
E {\displaystyle \mathbf {E} }	электрическое поле	вольт на метр
H {\displaystyle \mathbf {H} }	напряжённость магнитного поля	ампер на метр
D {\displaystyle \mathbf {D} }	электрическое поле смещения	кулон на квадратный метр
B {\displaystyle \mathbf {B} }	плотность магнитного потока, также называемая магнитной индукцией.	тесла, или эквивалентно, вебер на квадратный метр
ρ {\displaystyle \ \rho \ }	плотность свободного электрического заряда, не считая дипольных зарядов, связанных в материале.	кулон на кубический метр
J {\displaystyle \mathbf {J} }	плотность свободного тока, не считая токов поляризации или намагниченности, связанных в материале.	ампер на квадратный метр
d A {\displaystyle d\mathbf {A} }	дифференциальный векторный элемент площади поверхности A, с очень малой  величиной и направлением, нормальным к поверхности S	квадратные метры
d V {\displaystyle dV\ }	дифференциальный элемент объема V, заключенный в поверхность S	кубические метры
d l {\displaystyle d\mathbf {l} }	дифференциальный векторный элемент длины пути по касательной к контуру C, окружающему поверхность c	метров
v {\displaystyle \mathbf {v} }	мгновенная скорость элемента линии d l {\displaystyle d\mathbf {l} } определена выше (для движущихся контуров).	метров в секунду

и

∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } - оператор дивергенции (единица СИ: 1 на метр),

∇ × {\displaystyle \nabla \times } - оператор скручивания (единица СИ: 1 на метр).

Смысл уравнений

Плотность заряда и электрическое поле

∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } ,

где ρ {\displaystyle {\rho }} - плотность свободного электрического заряда (в единицах С/м³), не считая дипольных зарядов, связанных в материале, а D {\displaystyle \mathbf {D} } - электрическое поле смещения (в единицах С/м²). Это уравнение похоже на закон Кулона для недвижущихся зарядов в вакууме.

Следующая интегральная форма (по теореме о дивергенции), также известная как закон Гаусса, говорит о том же:

∮ A D ⋅ d A = Q enclosed {\displaystyle \oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{enclosed}}}

d A {\displaystyle d\mathbf {A} } - это площадь дифференциального квадрата на замкнутой поверхности A. Нормаль поверхности, направленная наружу, является направлением, а Q enclosed {\displaystyle Q_{\text{enclosed}} - свободный заряд, находящийся внутри поверхности.

В линейном материале D {\displaystyle \mathbf {D} } напрямую связано с электрическим полем E {\displaystyle \mathbf {E} с константой, называемой проницаемостью, ε {\displaystyle \varepsilon } (Эта константа различна для разных материалов):

D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } .

Можно сделать вид, что материал линейный, если электрическое поле не очень сильное.

Проницаемость свободного пространства называется ε {\displaystyle0 \varepsilon _{0}} и используется в этом уравнении:

∇ ⋅ E = ρ t ε {\displaystyle0 \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}}

Здесь E {\displaystyle \mathbf {E} } - снова электрическое поле (в единицах В/м), ρ t {\displaystyle \rho _{t}} - полная плотность заряда (включая связанные заряды), и ε {\displaystyle0 \varepsilon _{0}} (приблизительно 8,854 пФ/м) - это проницаемость свободного пространства. Можно также записать ε {\displaystyle \varepsilon } как ε ⋅0 ε r {\displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}}. . Здесь ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} - это проницаемость материала по сравнению с проницаемостью свободного пространства. Эта величина называется относительной проницаемостью или диэлектрической проницаемостью.

См. также уравнение Пуассона.

Структура магнитного поля

∇ ⋅ B = {\displaystyle0 \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

B {\displaystyle \mathbf {B} } - это плотность магнитного потока (в единицах тесла, Т), также называемая магнитной индукцией.

Следующая интегральная форма говорит о том же:

∮ A B ⋅ d A = {\displaystyle0 \oint _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}

Площадь d A {\displaystyle d\mathbf {A} } - это площадь дифференциального квадрата на поверхности A {\displaystyle A} . Направление d A {\displaystyle d\mathbf {A} } - это поверхностная нормаль, направленная наружу на поверхности A {\displaystyle A} .

Это уравнение работает только в том случае, если интеграл выполняется по замкнутой поверхности. Это уравнение говорит, что в каждом объеме сумма линий магнитного поля, входящих в него, равна сумме линий магнитного поля, выходящих из него. Это означает, что линии магнитного поля должны быть замкнутыми контурами. Другой способ сказать это заключается в том, что линии поля не могут начинаться откуда-то. Это математический способ сказать: "Магнитных монополей не существует".

Изменение магнитного потока и электрического поля

∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}

Следующая интегральная форма говорит о том же:

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}}

Здесь Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }=\int _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }

Вот что означают эти символы:

Φ_B - магнитный поток, проходящий через область A, которую описывает второе уравнение,

E - электрическое поле, которое вызывает магнитный поток,

s - это замкнутый путь, в котором индуцируется ток, например, провод,

v - мгновенная скорость элемента линии (для движущихся цепей).

Электродвижущая сила равна значению этого интеграла. Иногда этот символ используется для обозначения электродвижущей силы: E {\displaystyle {\mathcal {E}}} Не путайте его с символом проницаемости, который использовался ранее.

Этот закон похож на закон Фарадея об электромагнитной индукции.

В некоторых учебниках перед производной потока в правой части интегральной формы указывается знак N (N - число витков проволоки, расположенных вокруг края A). О N можно позаботиться при расчете A (несколько витков проволоки означают несколько поверхностей, через которые проходит поток), но это инженерная деталь, поэтому здесь она опущена.

Отрицательный знак необходим для сохранения энергии. Он настолько важен, что даже имеет собственное название - закон Ленца.

Это уравнение показывает, как электрическое и магнитное поля связаны друг с другом. Например, это уравнение объясняет, как работают электродвигатели и электрогенераторы. В электродвигателе или генераторе цепь возбуждения имеет фиксированное электрическое поле, которое вызывает магнитное поле. Это называется фиксированным возбуждением. Изменяющееся напряжение измеряется в цепи якоря. Уравнения Максвелла используются в правосторонней системе координат. Чтобы использовать их в левосторонней системе, не меняя уравнений, нужно сделать полярность магнитных полей противоположной (это не неправильно, но сбивает с толку, потому что обычно так не делают).

Источник магнитного поля

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}

H - напряженность магнитного поля (в единицах А/м), которую можно получить, разделив магнитный поток B на константу, называемую проницаемостью, μ (B = μH), а J - плотность тока, определяемая:

J = ∫ρvdA _q

v - векторное поле, называемое скоростью дрейфа. Оно описывает скорости носителей заряда, плотность которых описывается скалярной функцией ρ_q.

В свободном пространстве проницаемость μ - это проницаемость свободного пространства μ₀, которая по определению равна ровно 4π×10 ⁻⁷Вт/А-м. Кроме того, проницаемость - это проницаемость свободного пространства ε₀. Таким образом, в свободном пространстве уравнение имеет вид:

∇ × B = μ J0 + μ ε0 ∂0 E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}

Следующая интегральная форма говорит о том же:

∮ s B ⋅ d s = μ I0 обведен + μ ε0 ∫0 A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }

s - край открытой поверхности A (здесь подходит любая поверхность с кривой s в качестве края), а Iencircled - ток, окруженный кривой s (ток через любую поверхность определяется уравнением: Ithrough =_A ∫J-dA_A).

Если плотность электрического потока меняется не очень быстро, то второй член в правой части (поток смещения) очень мал и может быть опущен, и тогда уравнение совпадает с законом Ампера.

Ковариантная формулировка

Существует только два ковариантных уравнения Максвелла, потому что ковариантный вектор поля включает электрическое и магнитное поле.

Математическое примечание: В этом разделе будут использоваться абстрактные индексные обозначения.

В специальной теории относительности уравнения Максвелла для вакуума записаны в терминах четырех векторов и тензоров в "явно ковариантной" форме. Это было сделано для того, чтобы более наглядно показать тот факт, что уравнения Максвелла (в вакууме) принимают ту же форму в любой инерциальной системе координат. Это и есть "явно ковариантная" форма:

J b = ∂ a F a b {\displaystyle J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\,\! } ,

и

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {\displaystyle 0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}}

Второе уравнение аналогично:

0 = ε d a b c ∂ a F b c {\displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\,\! }

Здесь J a {\displaystyle \,J^{a}} - 4-ток, F a b {\displaystyle \,F^{ab}} - тензор напряженности поля (записанный как матрица 4 × 4), ε a b c d {\displaystyle \,\varepsilon _{abcd}} - символ Леви-Цивиты, а ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )} - 4-градиент (так что ∂ a ∂ a {\displaystyle \partial _{a}\partial ^{a}} - оператор д'Алембертиана). (a {\displaystyle a} в первом уравнении неявно суммируется, согласно обозначениям Эйнштейна). Первое тензорное уравнение говорит то же самое, что и два неоднородных уравнения Максвелла: закон Гаусса и закон Ампера с поправкой Максвелла. Второе уравнение говорит то же самое, что и два других уравнения, однородные уравнения: закон индукции Фарадея и отсутствие магнитных монополей.

J a {\displaystyle \,J^{a}} также может быть описано более явно этим уравнением: J a = ( c ρ , J → ) {\displaystyle J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})}} (как контравариантный вектор). (как контравариантный вектор), где вы получаете J a {\displaystyle \,J^{a}} из плотности заряда ρ и плотности тока J → {\displaystyle {\vec {J}}}. 4-ток является решением уравнения непрерывности:

J a , a = {\displaystyle0 J^{a}{}_{,a}\,=0}

В терминах 4-потенциала (как контравариантного вектора) A a = ( ϕ , A → c ) {\displaystyle A^{a}=\left(\phi ,{\vec {A}}c\right)}, где φ - электрический потенциал, а A → {\displaystyle {\vec {A}}} - магнитный векторный потенциал в калибре Лоренца. где φ - электрический потенциал, а A → {\displaystyle {\vec {A}}} - магнитный векторный потенциал в калибре Лоренца ( ∂ a A a = )0 {\displaystyle \left(\partial _{a}A^{a}=0\right)}. , F можно записать как:

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b {\displaystyle F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\! }

что приводит к тензору ранга-2 матрицы 4 × 4:

F a b = (0 - E x c - E y c - E z c E x c0 - B z B y E y c B z0 - B x E z c - B y B x )0 . {\displaystyle F^{ab}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&.0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). }

Тот факт, что электрическое и магнитное поля объединены в один тензор, показывает, что, согласно теории относительности, оба они являются различными частями одной и той же вещи: при смене системы отсчета то, что выглядит как электрическое поле в одной системе, может выглядеть как магнитное поле в другой системе, и наоборот.

Используя тензорную форму уравнений Максвелла, из первого уравнения следует

◻ F a b = {\displaystyle0 \Box F^{ab}=0} (См. Электромагнитный четырехпотенциал для связи между д'Аламбертианом четырехпотенциала и четырехтоком, выраженным в терминах старой нотации векторного оператора).

Разные авторы иногда используют различные соглашения о знаках для этих тензоров и 4-векторов (но это не меняет их значения).

F a b {\displaystyle \,F^{ab}} и F a b {\displaystyle \,F_{ab}} не одно и то же: они связаны метрическим тензором Минковского η {\displaystyle \eta } : F a b = η a c η b d F c d {\displaystyle F_{ab}=\,\eta _{ac}\eta _{bd}F^{cd}}. . Это меняет знак некоторых компонентов F; более сложные метрические дуализмы можно увидеть в общей теории относительности.