Алгебраическое многообразие
В математике алгебраические разновидности (их еще называют разновидностями) являются одним из центральных объектов изучения алгебраической геометрии. Первые дефинитоны алгебраического многообразия определили его как совокупность решений системы многочленных уравнений, над вещественными или комплексными числами. Современные определения алгебраического многообразия обобщают это понятие, пытаясь сохранить геометрическую интуицию за оригинальным определением.
Конвенции, касающиеся определения алгебраического разнообразия, различаются: Одни авторы требуют, чтобы "алгебраическая разновидность" по определению была несводима (что означает, что в зариской топологии закрыто не объединение двух меньших множеств), в то время как другие - нет. При использовании первой конвенции несокрушимые алгебраические разновидности называются алгебраическими множествами.
Понятие многообразия похоже на понятие многообразия. Одно из различий между разнообразием и многообразием заключается в том, что разнообразие может иметь единичные точки, в то время как многообразие не будет. Фундаментальная теорема алгебры, доказанная около 1800 года, устанавливает связь между алгеброй и геометрией, показывая, что монический многочлен в одной переменной со сложными коэффициентами (алгебраический объект) определяется множеством его корней (геометрический объект). Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие идеалов полиномиальных колец и алгебраических множеств. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили сильное соответствие между вопросами по алгебраическим множествам и вопросами теории колец. Это соответствие является спецификацией алгебраической геометрии среди других подобластей геометрии.
Витой кубик - это проекционная алгебраическая разновидность.
Вопросы и ответы
В: Что такое алгебраические многообразия?
О: Алгебраические многообразия являются одним из центральных объектов изучения в алгебраической геометрии. Они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами.
В: Чем современные определения отличаются от оригинального определения?
О: Современные определения пытаются сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе оригинального определения, одновременно обобщая его. Некоторые авторы требуют, чтобы "алгебраическое многообразие" было, по определению, несводимым (что означает, что оно не является объединением двух меньших множеств, замкнутых в топологии Зариски), в то время как другие этого не делают.
В: В чем разница между многообразием и многообразием?
О: Многообразие может иметь сингулярные точки, а многообразие - нет.
В: Что устанавливает фундаментальная теорема алгебры?
О: Фундаментальная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией, показывая, что монический многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами (алгебраический объект) определяется набором своих корней (геометрический объект).
В: Что дает нульстелленсац Гильберта?
О: Нульстелленсац Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами полиномиальных колец и алгебраическими множествами.
В: Как это соответствие было использовано математиками?
О: Математики установили сильное соответствие между вопросами об алгебраических множествах и вопросами теории колец, используя это соответствие.
В: Что делает эту конкретную область уникальной среди других подобластей геометрии? О: Это сильное соответствие между вопросами алгебраических множеств и вопросами теории колец делает данную область уникальной среди других областей геометрии.
