алгебраическая геометрия
Алгебраическая геометрия является отраслью математики, изучающей уравнения полиномов. Современная алгебраическая геометрия основана на более абстрактных техниках абстрактной алгебры, особенно коммутативной алгебры, с языком и задачами геометрии.
Основными объектами изучения в алгебраической геометрии являются алгебраические разновидности, которые являются геометрическими проявлениями множеств решений систем многочленных уравнений. Примерами наиболее изученных классов алгебраических разновидностей являются: плоские алгебраические кривые, включающие линии, круги, параболы, эллипсы, гиперболы, кубические кривые типа эллиптических кривых и кварцевые кривые типа лемнискатов, овалы Кассини. Точка плоскости принадлежит алгебраической кривой, если её координаты удовлетворяют заданному уравнению полинома. Основные вопросы заключаются в изучении точек, представляющих особый интерес, таких как сингулярные точки, точки перегиба и точки на бесконечности. Более сложные вопросы связаны с топологией кривой и отношениями между кривыми, заданными различными уравнениями.
Алгебраическая геометрия занимает центральное место в современной математике. Используемые ею понятия связывают ее с такими разнообразными областями, как комплексный анализ, топология и теория чисел. Вначале алгебраическая геометрия была посвящена изучению систем многочленных уравнений в нескольких переменных. Алгебраическая геометрия начинается с того момента, когда решение уравнений отходит на второй план: Во многих случаях нахождение свойств всех решений заданного набора уравнений более важно, чем нахождение конкретного решения: это ведет в одни из самых глубоких областей во всей математике, как с концептуальной точки зрения, так и с точки зрения техники.
В 20 веке алгебраическая геометрия разделилась на несколько подрайонов.
- Основной поток алгебраической геометрии посвящен изучению сложных точек алгебраических разновидностей и в целом точек с координатами в алгебраически замкнутом поле.
- Изучение точек алгебраического многообразия с координатами в поле рациональных чисел или в числовом поле стало арифметической геометрией (или более классической диофантовой геометрией), подполем алгебраической теории чисел.
- Изучение реальных точек алгебраического разнообразия является предметом реальной алгебраической геометрии.
- Большая часть теории сингулярности посвящена особенностям алгебраических разновидностей.
- Когда компьютеры стали более распространены, появилась область, названная "вычислительная алгебраическая геометрия". Она смотрит на пересечение алгебраической геометрии и компьютерной алгебры. Она связана с разработкой алгоритмов и программного обеспечения для изучения и нахождения свойств явно заданных алгебраических разновидностей.
Значительная часть развития основного потока алгебраической геометрии в 20 веке происходила в абстрактных алгебраических рамках, при этом все больший акцент делался на "врожденные" свойства алгебраических разновидностей, не зависящие от какого-либо конкретного способа встраивания разновидности в окружающее координатное пространство. Развитие топологии, дифференциальной и сложной геометрии происходило примерно так же. Одним из ключевых достижений этой абстрактной алгебраической геометрии является теория схем Гротэндика, которая позволяет использовать теорию связок для изучения алгебраических разновидностей способом, очень похожим на ее использование при изучении дифференциальных и аналитических многообразий. Это достигается путем расширения понятия точки: в классической алгебраической геометрии точка аффинного многообразия может быть идентифицирована через Nullstellensatz Гильберта с максимальным идеалом координатного кольца, в то время как точки соответствующей аффинной схемы являются главными идеалами этого кольца. Это означает, что точка такой схемы может быть либо обычной точкой, либо подмножеством. Такой подход также позволяет унифицировать язык и инструменты классической алгебраической геометрии, в основном касающиеся сложных точек, и алгебраической теории чисел. Примером силы этого подхода является доказательство Уайлсом давней гипотезы под названием "Последняя теорема Фермата".
Эта тольяттинская поверхность является алгебраической поверхностью пятой степени. Картинка представляет собой часть ее реального локуса.
Вопросы и ответы
В: Что такое алгебраическая геометрия?
О: Алгебраическая геометрия - это раздел математики, изучающий полиномиальные уравнения.
В: Какие методы используются в современной алгебраической геометрии?
О: Современная алгебраическая геометрия использует более абстрактные методы из абстрактной алгебры, такие как коммутативная алгебра, для решения языка и проблем геометрии.
В: Какой тип уравнений изучает алгебраическая геометрия?
О: Алгебраическая геометрия изучает полиномиальные уравнения.
В: Как она использует абстрактную алгебру?
О: Она использует абстрактную алгебру, особенно коммутативную алгебру, для понимания языка и проблем, связанных с геометрией.
В: Существует ли определенный тип языка, используемый в этой области?
О: Да, современная алгебраическая геометрия использует язык и проблемы, связанные с геометрией.
В: Как современные технологии повлияли на эту область?
О: Современные технологии позволили использовать более продвинутые методы из абстрактной алгебры для изучения полиномиальных уравнений в этой области.
