Геометрия Лобачевского

Непересекающиеся линии

Интересное свойство гиперболической геометрии следует из наличия более чем одной параллельной прямой через точку P: существует два класса непересекающихся прямых. Пусть B - точка на l такая, что прямая PB перпендикулярна l. Рассмотрим прямую x через P такую, что x не пересекает l, а угол θ между PB и x против часовой стрелки от PB как можно меньше; т.е. любой меньший угол заставит прямую пересечь l. Такая прямая называется асимптотической в гиперболической геометрии. Симметрично, линия y, образующая тот же угол θ между PB и собой, но по часовой стрелке от PB, также будет асимптотической. x и y - единственные две линии, асимптотические к l через P. Все остальные линии через P, не пересекающие l и имеющие с PB угол больше θ, называются ультрапараллельными (или дизъюнктивно параллельными) к l. Обратите внимание, что поскольку существует бесконечное число возможных углов между θ и 90 градусами, и каждый из них определяет две прямые, проходящие через P и нераздельно параллельные l, то существует бесконечное число ультрапараллельных прямых.

Таким образом, мы имеем модифицированную форму постулата параллели: В гиперболической геометрии при любой прямой l и точке P не на l существует ровно две прямые через P, асимптотические к l, и бесконечно много прямых через P, ультрапараллельных l.

Различия между этими типами прямых можно также рассмотреть следующим образом: расстояние между асимптотическими прямыми стремится к нулю в одном направлении и неограниченно растет в другом; расстояние между ультрапараллельными прямыми увеличивается в обоих направлениях. Теорема об ультрапараллельных прямых утверждает, что в гиперболической плоскости существует единственная прямая, перпендикулярная каждой из заданной пары ультрапараллельных прямых.

В евклидовой геометрии угол параллельности является константой, то есть любое расстояние ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } между параллельными прямыми дает угол параллельности, равный 90°. В гиперболической геометрии угол параллельности изменяется с помощью функции Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Эта функция, описанная Николаем Ивановичем Лобачевским, дает уникальный угол параллельности для каждого расстояния p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert }. . С уменьшением расстояния Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} приближается к 90°, тогда как с увеличением расстояния Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} приближается к 0°. Таким образом, с уменьшением расстояния гиперболическая плоскость все больше напоминает евклидову геометрию. Действительно, на малых масштабах по сравнению с 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} где K {\displaystyle K\! } - это (постоянная) гауссова кривизна плоскости, наблюдателю будет трудно определить, находится ли он в евклидовой или гиперболической плоскости.

История

Ряд геометров предпринимали попытки доказать постулат о параллельных, в том числе Омар Хайям, а позднее Джованни Джероламо Саккери, Джон Уоллис, Ламберт и Лежандр. Их попытки не увенчались успехом, но их усилия дали начало гиперболической геометрии. Теоремы Альхасена, Хайяма о четырехугольниках были первыми теоремами по гиперболической геометрии. Их работы по гиперболической геометрии оказали влияние на ее развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Альфонсо и Джона Уоллиса.

В девятнадцатом веке гиперболическую геометрию исследовали Янош Боляй и Николай Иванович Лобачевский, в честь которого ее иногда называют. Лобачевский опубликовал работу в 1830 году, а Боляй самостоятельно открыл ее и опубликовал в 1832 году. Карл Фридрих Гаусс также изучал гиперболическую геометрию, описав в письме к Тауринусу в 1824 году, что он построил ее, но не опубликовал свою работу. В 1868 году Эудженио Бельтрами предоставил ее модели и использовал это для доказательства того, что гиперболическая геометрия непротиворечива, если геометрия евклидова.

Термин "гиперболическая геометрия" был введен Феликсом Клейном в 1871 году. Более подробную историю см. в статье о неевклидовой геометрии.

Модели гиперболической плоскости

Существует три модели, обычно используемые для гиперболической геометрии: модель Клейна, модель диска Пуанкаре и модель Лоренца, или модель гиперболоида. Эти модели определяют реальное гиперболическое пространство, которое удовлетворяет аксиомам гиперболической геометрии. Несмотря на название, две модели диска и модель полуплоскости были введены в качестве моделей гиперболического пространства Бельтрами, а не Пуанкаре или Клейном.

1. Модель Клейна, также известная как модель проективного диска и модель Белтрами-Клейна, использует внутреннюю часть круга для гиперболической плоскости, а хорды круга - как линии.
2. Модель полуплоскости Пуанкаре принимает одну половину евклидовой плоскости, определяемую евклидовой линией B, за гиперболическую плоскость (сама B не включается).
• Тогда гиперболические линии - это либо полуокружности, ортогональные к B, либо лучи, перпендикулярные B.
• Обе модели Пуанкаре сохраняют гиперболические углы и тем самым являются конформными. Поэтому все изометрии в этих моделях являются преобразованиями Мёбиуса.
• Модель полуплоскости идентична (в пределе) модели диска Пуанкаре на краю диска
• Эта модель имеет прямое применение к специальной теории относительности, поскольку трехмерное пространство Минковского является моделью пространства-времени, подавляющей одно пространственное измерение. Можно взять гиперболоид для представления событий, которые различные движущиеся наблюдатели, излучающие наружу в пространственной плоскости из одной точки, достигнут за фиксированное собственное время. Тогда гиперболическое расстояние между двумя точками на гиперболоиде можно отождествить с относительной скоростью между двумя соответствующими наблюдателями.

Модель диска Пуанкаре большой ромбовидной усеченной плитки {3,7}

Визуализация гиперболической геометрии

M. Знаменитые гравюры К. Эшера Circle Limit III и Circle Limit IV хорошо иллюстрируют конформную модель диска. На обоих рисунках видны геодезические линии. (В III белые линии - это не геодезические, а гиперциклы, которые проходят рядом с ними). Также хорошо видна отрицательная кривизна гиперболической плоскости через ее влияние на сумму углов в треугольниках и квадратах.

В евклидовой плоскости сумма их углов составила бы 450°, то есть круг и четверть. Отсюда следует, что сумма углов треугольника в гиперболической плоскости должна быть меньше 180°. Еще одно заметное свойство - экспоненциальный рост. Например, в Circle Limit IV видно, что количество ангелов и демонов на расстоянии n от центра растет по экспоненте. Демоны имеют равную гиперболическую площадь, поэтому площадь шара радиуса n должна расти экспоненциально по n.

Существует несколько способов физически реализовать гиперболическую плоскость (или ее аппроксимацию). Особенно известная бумажная модель, основанная на псевдосфере, принадлежит Уильяму Терстону. Искусство вязания крючком было использовано для демонстрации гиперболических плоскостей, причем первая модель была сделана Дайной Тайминой. В 2000 году Кит Хендерсон продемонстрировал быстро изготавливаемую бумажную модель, получившую название "гиперболический футбольный мяч".

Коллекция вязаных крючком гиперболических плоскостей, имитирующих коралловый риф, от Института фигурирования