Специальная теория относительности

Основы особой относительности

Предположим, что ты двигаешься к чему-то, что движется к тебе. Если вы измеряете его скорость, он будет казаться, что движется быстрее, чем если бы вы не двигались. Теперь представьте, что вы уходите от чего-то, что движется к вам. Если вы еще раз измерите его скорость, он будет казаться, что движется медленнее. Такова идея "относительной скорости" - скорости объекта относительно вас.

До Альберта Эйнштейна ученые пытались измерить "относительную скорость" света. Они делали это, измеряя скорость света звезд, достигающего Земли. Они ожидали, что если Земля движется к звезде, то свет от этой звезды должен казаться быстрее, чем если бы Земля удалялась от этой звезды. Однако они заметили, что независимо от того, кто проводил эксперименты, где они проводились и какой свет звезды использовался, измеренная скорость света в вакууме всегда была одинаковой.

Эйнштейн сказал, что это происходит потому, что есть что-то неожиданное в длине и продолжительности, или как долго что-то длится. Он думал, что по мере того, как Земля движется в пространстве, все измеряемые длительности изменяются очень незначительно. Любые часы, используемые для измерения длительности, будут неправильными в точности на нужное количество, так что скорость света остается той же. Воображение "световых часов" позволяет нам лучше понять этот удивительный факт для случая одной световой волны.

Кроме того, Эйнштейн сказал, что с перемещением Земли через космос все измеряемые длины меняются (когда-либо так слегка). Любой прибор, измеряющий длину, выдаст длину точно на нужную величину, так что скорость света останется прежней.

Самое трудное для понимания - это то, что события, которые кажутся одновременными в одном кадре, могут не быть одновременными в другом. Это приводит к множеству эффектов, которые нелегко воспринимать и понимать. Поскольку длина объекта - это расстояние от головы до хвоста в один и тот же момент времени, из этого следует, что если два наблюдателя расходятся во мнениях о том, какие события являются одновременными, то это скажется (иногда драматично) на их измерениях длины объектов. Более того, если линия часов появляется синхронизированной со стационарным наблюдателем и оказывается не синхронизированной с этим же наблюдателем после разгона до определенной скорости, то из этого следует, что во время разгона часы работали с разной скоростью. Некоторые из них могут даже бежать назад. Эта линия рассуждений приводит к общей относительности.

Другие ученые до Эйнштейна писали о том, что свет, кажется, движется с той же скоростью, как бы он ни наблюдался. Что сделало теорию Эйнштейна настолько революционной, так это то, что она считает измерение скорости света постоянным по определению, другими словами, это закон природы. Это имеет замечательные последствия, что измерения, связанные со скоростью, длиной и продолжительностью, изменяются для того, чтобы приспособиться к этому.

Преобразования Лоренца

Математическими основами особой относительности являются преобразования Лоренца, которые математически описывают взгляды пространства и времени для двух наблюдателей, которые движутся относительно друг друга, но не испытывают ускорения.

Для определения преобразований мы используем декартовую систему координат, чтобы математически описать время и пространство "событий".

Каждый наблюдатель может описать событие как положение чего-либо в пространстве в определенное время, используя координаты (x,y,z,t).

Расположение события определяется в первых трех координатах (x,y,z) по отношению к произвольному центру (0,0,0) таким образом, что (3,3,3) - это диагональ, идущая 3 единицы расстояния (например, метры или мили) в каждом направлении.

Время события описывается четвертой координатой t по отношению к произвольной (0) точке времени в какой-то единице времени (например, секундах, часах или годах).

Пусть будет наблюдатель K, который описывает, когда происходят события с координатой времени t, и который описывает, где происходят события с пространственными координатами x, y и z. Это математически определяет первого наблюдателя, "точка зрения" которого будет нашей первой ссылкой.

Уточним, что дано время события: ко времени, когда оно наблюдается t_{(наблюдалось)} (скажем, сегодня, в 12 часов) минус время, которое потребовалось для того, чтобы наблюдение дошло до наблюдателя.

Это можно вычислить как расстояние от наблюдателя до события d_{(наблюдаемого)} (скажем, событие находится на звезде, которая находится на расстоянии 1 светового года, поэтому свету требуется 1 год, чтобы добраться до наблюдателя), деленное на c, скорость света (несколько миллионов миль в час), которую мы определяем как одинаковую для всех наблюдателей.

Это правильно, потому что расстояние, разделенное на скорость, дает время, необходимое для прохождения этого расстояния на этой скорости (например, 30 миль, разделенных на 10 миль в час: дайте нам 3 часа, потому что если вы едете со скоростью 10 миль в час в течение 3 часов, вы достигнете 30 миль). Так мы и сделали:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Это математически определяет, что означает любое "время" для любого наблюдателя.

Теперь, когда эти определения приняты, пусть будет еще один наблюдатель К, который

• двигаясь по оси х К со скоростью v,
• имеет систему пространственных координат x', y' и z',

где ось x' совпадает с осью x, а с осями y' и z' - "всегда параллельна" осям y и z.

Это означает, что когда K' дает местоположение подобное (3,1,2), то x (в данном примере - 3) - это то же самое место, о котором говорил бы первый наблюдатель K, но 1 по оси y или 2 по оси z параллельны только некоторому местоположению в системе координат наблюдателя K', и

• где K и K' совпадают при t = t' = 0.

Это означает, что координата (0,0,0,0) является одним и тем же событием для обоих наблюдателей.

Иными словами, оба наблюдателя имеют (по крайней мере) одно время и место, с которыми они оба согласны, т.е. место и время ноль.

Тогда преобразования Лоренца -

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} и

z ′ = z {\displaystyle z'=z} .

Определить событие, имеющее пространственно-временные координаты (t,x,y,z) в системе S и (t′,x′,y′,z′) в отсчетной рамке, движущейся со скоростью v по отношению к этой рамке, S′. Затем преобразование Лоренца указывает, что эти координаты связаны следующим образом: коэффициент Лоренца и c - скорость света в вакууме, а скорость v из S′ параллельна оси x. Для простоты координаты y и z не затрагиваются; преобразуются только координаты x и t. Эти преобразования Лоренца образуют однопараметрическую группу линейных отображений, этот параметр называется быстротой.

Решение вышеперечисленных четырех уравнений преобразования для неустановленных координат дает обратное преобразование Лоренца:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\x&=\gamma (x'+vt')\y&=y'\z&=z'.\end{aligned}}}

При приведении этого обратного преобразования Лоренца в соответствие с преобразованием Лоренца из загрунтованной в незагрунтованную систему, незагрунтованная рамка показывается как движущаяся со скоростью v′ = -v, измеренной в загрунтованной рамке.

В оси Х нет ничего особенного. Преобразование может быть применено к оси y или z, или, действительно, в любом направлении, что может быть сделано по направлениям, параллельным движению (которые искажаются γ-фактором) и перпендикулярным; подробнее см. преобразование Лоренца в статье.

Инвариант количества при преобразовании Лоренца известен как скаляр Лоренца.

При записи преобразования Лоренца и его обратного с точки зрения разностей координат, где одно событие имеет координаты (x1, t1) и (x′1, t′1), другое событие имеет координаты (x2, t2) и (x′2, t′2), а разности определяются как

Изв. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}, \Delta t'=t'_{2}-t'_{1} . }

Примечание 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1} ,   \Delta t=t_{2}-t_{1} . }

получаем

Исправление 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma  (\Delta x-v,\Delta t) ,   }. Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma  \left(\Delta t-v \Delta x/c^{2}\right) . }

Инв. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t′) , {\displaystyle \Delta x=\gamma  (\Delta x'+v,\Delta t') ,  }. Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma  \left(\Delta t'+v \Delta x'/c^{2}\right) . }

Если мы возьмем дифференциалы вместо того, чтобы брать дифференциалы, мы получим

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma  (dx-v,dt) ,   } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma  \left(dt-v dx/c^{2}\right) . }

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t′) , {\displaystyle dx=\gamma  (dx'+v,dt'), } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2) . {\displaystyle dt=\gamma  \left(dt'+v dx'/c^{2}\right) . }

Масса, энергия и импульс

В особой относительности импульс p {\displaystyle p} и суммарная энергия E {\displaystyle E} объекта как функция его массы m {\displaystyle m} равны

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac}{v^{2}}{c^{2}}}}}}}

и

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac}{v^{2}}{c^{2}}}}}}} .

Частой ошибкой (также в некоторых книгах) является переписывание этого уравнения с использованием "релятивистской массы" (в направлении движения) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac}}{v^{2}}c^{2}}}}}}} . Причина, по которой это неправильно, заключается в том, что свет, например, не имеет массы, а имеет энергию. Если использовать эту формулу, то фотон (частица света) имеет массу, что, согласно экспериментам, неверно.

В особой относительности масса, полная энергия и импульс объекта связаны уравнением

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Для объекта, находящегося в состоянии покоя, p = 0 {\displaystyle p=0}, поэтому приведенное выше уравнение упрощается до E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . Следовательно, массивный объект, находящийся в состоянии покоя, все еще обладает энергией. Мы называем эту энергию покоя и обозначаем ее E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

История

Необходимость в особой относительности возникла из уравнений Максвелла об электромагнетизме, которые были опубликованы в 1865 году. Позднее было установлено, что они призывают электромагнитные волны (например, свет) двигаться с постоянной скоростью (т.е. скорость света).

Чтобы уравнения Джеймса Клерка Максвелла соответствовали как астрономическим наблюдениям^[1], так и ньютоновской физике^[2], Максвелл в 1877 году предложил, чтобы свет проходил через эфир, который находится повсюду во Вселенной.

В 1887 году знаменитый эксперимент Майклсона-Морли попытался обнаружить "эфирный ветер", порожденный движением Земли. ^[3] Постоянные нулевые результаты этого эксперимента озадачивали физиков и ставили эфирную теорию под сомнение.

В 1895 г. Лоренц и Фицджеральд отмечали, что нулевой результат эксперимента Микельсона-Морли можно объяснить тем, что эфирный ветер сжимал эксперимент в направлении движения эфира. Этот эффект называется сокращением Лоренца и (без эфира) является следствием особой относительности.

В 1899 году Лоренц впервые опубликовал уравнения Лоренца. Хотя они были опубликованы не в первый раз, они впервые были использованы в качестве объяснения нулевого результата Майкельсона-Морли, так как их результатом является сокращение Лоренца.

В 1900 году Пуэнкаре выступил с известной речью, в которой он рассмотрел возможность того, что некоторая "новая физика" необходима для объяснения эксперимента Микельсона-Морли.

В 1904 году Лоренц показал, что электрическое и магнитное поля могут быть преобразованы друг в друга с помощью преобразований Лоренца.

В 1905 году Эйнштейн опубликовал в журнале "Annalen der Physik" статью, вводящую особую относительность, "Об электродинамике движущихся тел". В этой статье он представил постулаты относительности, выведенные из них преобразования Лоренца, а также (не зная статьи Лоренца 1904 г.) показал, как преобразования Лоренца влияют на электрическое и магнитное поля.

Позднее в 1905 году Эйнштейн опубликовал еще одну статью, представляющую E = mc2.

В 1908 году Макс Планк одобрил теорию Эйнштейна и назвал ее "относительность". В том же году Герман Минковский выступил с известной речью "Пространство и время", в которой показал, что относительность является самосогласованной, и далее развил теорию. Эти события заставили физическое сообщество серьезно отнестись к относительности. После этого относительность становилась все более и более приемлемой.

В 1912 году Эйнштейн и Лоренц были номинированы на Нобелевскую премию по физике за свою новаторскую работу в области относительности. К сожалению, относительность тогда была настолько спорной и оставалась спорной настолько долго, что Нобелевская премия за нее так и не была присуждена.

Экспериментальные подтверждения

• Эксперимент Микельсона-Морли, который не смог обнаружить разницы в скорости света в зависимости от направления движения света.
• Эксперимент Физо, в котором показатель преломления для света в движущейся воде не может быть меньше 1. Наблюдаемые результаты объясняются релятивистским правилом сложения скоростей.
• Энергия и импульс света подчиняются уравнению E = p c {\displaystyle E=pc} . (В ньютоновской физике это должно быть E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}\end{matrix}}pc} .) .)
• Поперечный допплеровский эффект, при котором свет, излучаемый быстро движущимся объектом, краснеет из-за замедления времени.
• Наличие мюонов, созданных в верхних слоях атмосферы на поверхности Земли. Дело в том, что для того, чтобы спуститься на поверхность Земли даже со скоростью, близкой к скорости света, требуется гораздо больше времени, чем период полураспада мюонов. Их присутствие можно рассматривать как следствие либо растяжения во времени (на наш взгляд), либо сокращения расстояния до земной поверхности (на взгляд мюонов).
• Ускорители частиц не могут быть построены без учета релятивистской физики.

Связанные страницы

• Общая относительность