Математическими основами особой относительности являются преобразования Лоренца, которые математически описывают взгляды пространства и времени для двух наблюдателей, которые движутся относительно друг друга, но не испытывают ускорения.
Для определения преобразований мы используем декартовую систему координат, чтобы математически описать время и пространство "событий".
Каждый наблюдатель может описать событие как положение чего-либо в пространстве в определенное время, используя координаты (x,y,z,t).
Расположение события определяется в первых трех координатах (x,y,z) по отношению к произвольному центру (0,0,0) таким образом, что (3,3,3) - это диагональ, идущая 3 единицы расстояния (например, метры или мили) в каждом направлении.
Время события описывается четвертой координатой t по отношению к произвольной (0) точке времени в какой-то единице времени (например, секундах, часах или годах).
Пусть будет наблюдатель K, который описывает, когда происходят события с координатой времени t, и который описывает, где происходят события с пространственными координатами x, y и z. Это математически определяет первого наблюдателя, "точка зрения" которого будет нашей первой ссылкой.
Уточним, что дано время события: ко времени, когда оно наблюдается t(наблюдалось) (скажем, сегодня, в 12 часов) минус время, которое потребовалось для того, чтобы наблюдение дошло до наблюдателя.
Это можно вычислить как расстояние от наблюдателя до события d(наблюдаемого) (скажем, событие находится на звезде, которая находится на расстоянии 1 светового года, поэтому свету требуется 1 год, чтобы добраться до наблюдателя), деленное на c, скорость света (несколько миллионов миль в час), которую мы определяем как одинаковую для всех наблюдателей.
Это правильно, потому что расстояние, разделенное на скорость, дает время, необходимое для прохождения этого расстояния на этой скорости (например, 30 миль, разделенных на 10 миль в час: дайте нам 3 часа, потому что если вы едете со скоростью 10 миль в час в течение 3 часов, вы достигнете 30 миль). Так мы и сделали:
t = d / c {\displaystyle t=d/c} 
Это математически определяет, что означает любое "время" для любого наблюдателя.
Теперь, когда эти определения приняты, пусть будет еще один наблюдатель К, который
- двигаясь по оси х К со скоростью v,
- имеет систему пространственных координат x', y' и z',
где ось x' совпадает с осью x, а с осями y' и z' - "всегда параллельна" осям y и z.
Это означает, что когда K' дает местоположение подобное (3,1,2), то x (в данном примере - 3) - это то же самое место, о котором говорил бы первый наблюдатель K, но 1 по оси y или 2 по оси z параллельны только некоторому местоположению в системе координат наблюдателя K', и
- где K и K' совпадают при t = t' = 0.
Это означает, что координата (0,0,0,0) является одним и тем же событием для обоих наблюдателей.
Иными словами, оба наблюдателя имеют (по крайней мере) одно время и место, с которыми они оба согласны, т.е. место и время ноль.
Тогда преобразования Лоренца -
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\displaystyle y'=y} 
и
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Определить событие, имеющее пространственно-временные координаты (t,x,y,z) в системе S и (t′,x′,y′,z′) в отсчетной рамке, движущейся со скоростью v по отношению к этой рамке, S′. Затем преобразование Лоренца указывает, что эти координаты связаны следующим образом: коэффициент Лоренца и c - скорость света в вакууме, а скорость v из S′ параллельна оси x. Для простоты координаты y и z не затрагиваются; преобразуются только координаты x и t. Эти преобразования Лоренца образуют однопараметрическую группу линейных отображений, этот параметр называется быстротой.
Решение вышеперечисленных четырех уравнений преобразования для неустановленных координат дает обратное преобразование Лоренца:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\x&=\gamma (x'+vt')\y&=y'\z&=z'.\end{aligned}}} 
При приведении этого обратного преобразования Лоренца в соответствие с преобразованием Лоренца из загрунтованной в незагрунтованную систему, незагрунтованная рамка показывается как движущаяся со скоростью v′ = -v, измеренной в загрунтованной рамке.
В оси Х нет ничего особенного. Преобразование может быть применено к оси y или z, или, действительно, в любом направлении, что может быть сделано по направлениям, параллельным движению (которые искажаются γ-фактором) и перпендикулярным; подробнее см. преобразование Лоренца в статье.
Инвариант количества при преобразовании Лоренца известен как скаляр Лоренца.
При записи преобразования Лоренца и его обратного с точки зрения разностей координат, где одно событие имеет координаты (x1, t1) и (x′1, t′1), другое событие имеет координаты (x2, t2) и (x′2, t′2), а разности определяются как
Изв. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}, \Delta t'=t'_{2}-t'_{1} . } 
Примечание 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1} , \Delta t=t_{2}-t_{1} . } 
получаем
Исправление 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v,\Delta t) , }. 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-v \Delta x/c^{2}\right) . } 
Инв. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t′) , {\displaystyle \Delta x=\gamma (\Delta x'+v,\Delta t') , }. 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \left(\Delta t'+v \Delta x'/c^{2}\right) . } 
Если мы возьмем дифференциалы вместо того, чтобы брать дифференциалы, мы получим
Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma (dx-v,dt) , }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \left(dt-v dx/c^{2}\right) . } 
Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t′) , {\displaystyle dx=\gamma (dx'+v,dt'), }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2) . {\displaystyle dt=\gamma \left(dt'+v dx'/c^{2}\right) . } 
