Математический анализ

Разделы математического анализа

Лимиты

Примером математического анализа являются пределы. Пределы используются для того, чтобы увидеть, что происходит вблизи вещей. Пределы также могут быть использованы для того, чтобы увидеть, что происходит, когда вещи становятся очень большими. Например, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} никогда не равно нулю, но по мере увеличения n 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} приближается к нулю. Предел 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} при увеличении n равен нулю. Обычно говорят: "Предел 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} при переходе n в бесконечность равен нулю". Это записывается как lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

Аналогом будет 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}}. . Когда n {\displaystyle {n}} становится больше, предел переходит в бесконечность. Он записывается как lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty }. .

Фундаментальная теорема алгебры может быть доказана на основе некоторых основных результатов комплексного анализа. Она гласит, что каждый многочлен f ( x ) {\displaystyle f(x)} с действительными или комплексными коэффициентами имеет комплексный корень. Корень - это число x, которое дает решение f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Некоторые из этих корней могут быть одинаковыми.

Дифференциальное исчисление

Функция f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} является прямой. Отрезок m {\displaystyle {m}} показывает наклон функции, а отрезок c {\displaystyle {c}} показывает положение функции на ординате. Имея две точки на линии, можно вычислить наклон m {\displaystyle {m}} с:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Функция вида f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , которая не является линейной, не может быть вычислена так, как описано выше. Вычислить наклон можно только с помощью касательных и секущих. Секанс проходит через две точки, а когда эти две точки сближаются, он превращается в тангенс.

Новая формула имеет вид m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Это называется разностным коэффициентом. Теперь x 1 {\displaystyle x_{1}} становится ближе к x 0 {\displaystyle x_{0}}. . Это можно выразить следующей формулой:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Результат называется производной или наклоном f в точке x {\displaystyle {x}}. .

Интеграция

Интеграция заключается в вычислении площадей.

Символ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

читается как "интеграл от f от a до b" и обозначает область между осью x, графиком функции f и линиями x=a и x=b. Точка a {\displaystyle a} - это точка начала области, а b {\displaystyle b} - точка конца области.

Похожие страницы

Некоторые темы анализа:

• Calculus
• Комплексный анализ
• Функциональный анализ
• Численный анализ

Некоторые полезные идеи в анализе таковы:

• Серия
• Последовательности
• Деривативы
• Интегралы