Серия переменных гармоник
Серия
∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots } 
известен как серия переменных гармоник. Эта серия сходится с помощью теста переменной серии. В частности, сумма равна натуральному логарифму 2:
1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.} 
Чередующийся ряд гармоник, хотя и условно сходящийся, не является абсолютно сходящимся: если члены ряда систематически перестраиваются, то в целом сумма становится иной и, в зависимости от перестройки, возможно, даже бесконечной.
Формула серии переменных гармоник является особым случаем серии Меркатора, серии Тейлора для натурального логарифма.
Связанная серия может быть получена из серии Тейлора для арткангента:
∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}-{\frac {1}{7}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}. } 
Это известно как серия "Лейбниц".
Серия общей гармоники
Общий гармонический ряд имеет форму
∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},} 
где a ≠ 0 и b - вещественные числа, а b/a - не ноль и не отрицательное целое число.
При испытании на сравнение предельных значений с сериями гармоник все серии общих гармоник также расходятся.
p-серии
Обобщением гармонического ряда является p-серии (или гипергармонический ряд), определяемый как
∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}} 
для любого вещественного числа p. При p = 1, p-серия является гармонической серией, которая расходится. Либо интегральный тест, либо тест на конденсацию Коши показывает, что p-серии сходятся для всех p > 1 (в этом случае их называют сверхгармоническими рядами) и расходятся для всех p ≤ 1. Если p > 1, то суммой p-серии является ζ(p), т.е. функция дзеты Римана, оцениваемая при p.
Проблема нахождения суммы для p = 2 называется Базельской задачей; Леонхард Эйлер показал, что это π2/6. Значение суммы для p = 3 называется константой Апери, поскольку Роже Апери доказал, что это иррациональное число.
ln-серии
К p-серии относится ln-серии, определяемая как
∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}} 
для любого положительного вещественного числа p. Это может быть показано интегральным тестом, который расходится для p ≤ 1, но сходится для всех p > 1.
φ-серии
Для любой выпуклой, реально оцененной функции φ такой, чтобы
lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},} 
серия
∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}\right)} 
сходится. []
Случайные серии гармоник
Случайный ряд гармоник
∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n},} 
где sn являются независимыми, идентично распределенными случайными переменными, принимающими значения +1 и -1 с равной вероятностью 1/2, является известным примером в теории вероятностей для ряда случайных переменных, сходящихся с вероятностью 1. Факт такого сходства является легким следствием либо теорем Колмогорова трех серий, либо близкородственным Колмогорову максимальным неравенством. Байрон Шмуланд из Университета Альберты дополнительно изучил свойства случайного ряда гармоник и показал, что сходящийся ряд является случайной переменной с некоторыми интересными свойствами. В частности, функция плотности вероятности этой случайной величины, оцененная при +2 или -2, принимает значение 0,124999999999999999999999999999764..., отличающееся от 1/8 менее чем на 10-42. В работе Шмуланда объясняется, почему эта вероятность так близка к 1/8, но не совсем точна. Точное значение этой вероятности дает бесконечный косинусный интеграл С2, разделенный на π.
Испорченный ряд гармоник
Обедненная гармоническая серия, в которой все термины, в которых цифра 9 появляется в любом месте знаменателя, удалены, может быть показана как сходящаяся, и ее значение меньше 80. Фактически, при удалении всех терминов, содержащих какую-либо определенную строку цифр (в любом основании), серия сходится.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{aligned}}}](https://www.alegsaonline.com/image/fb2621888aefe7aee579338766d1934f214895fc.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}](https://www.alegsaonline.com/image/bd95add1bb219ab2309037cab6efdb5dc31815db.svg)
