Рассмотрим поверхность S, на которой определено скалярное поле f. Если считать, что S состоит из некоторого материала, и для каждого x в S число f(x) является плотностью материала в точке x, то поверхностный интеграл f по S - это масса на единицу толщины S. (Это верно только в том случае, если поверхность представляет собой бесконечно тонкую оболочку.) Один из подходов к вычислению поверхностного интеграла состоит в том, чтобы разделить поверхность на множество очень маленьких частей, предположить, что на каждой части плотность приблизительно постоянна, найти массу на единицу толщины каждой части путем умножения плотности части на ее площадь, а затем сложить полученные числа, чтобы найти общую массу на единицу толщины S.
Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла, математики параметризуют S, рассматривая на S систему криволинейных координат, таких как широта и долгота на сфере. Пусть такой параметризацией будет x(s, t), где (s, t) изменяется в некоторой области T на плоскости. Тогда поверхностный интеграл дается следующим образом
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt} 
где выражение между столбиками в правой части - величина перекрестного произведения частных производных x(s, t).
Например, чтобы найти площадь поверхности некоторой общей функциональной формы, скажем z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)}
, мы имеем
A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy} 
где r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
. Так что ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} 
, и ∂ r ∂ y = ( 0, 1, f y ( x, y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
. Итак,
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}}} 
которая является формулой, используемой для площади поверхности общей функциональной формы. Вектор во второй строке выше можно распознать как вектор нормали к поверхности.
Обратите внимание, что из-за наличия перекрестного произведения приведенные выше формулы работают только для поверхностей, вписанных в трехмерное пространство.
