уравнение Шредингера

Независимая от времени версия

Предполагая, что волновая функция, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} , является разделимой, т.е. предполагая, что функция двух переменных может быть записана как произведение двух разных функций одной переменной:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}

то, используя стандартные математические методы Частичных дифференциальных уравнений, можно показать, что волновое уравнение можно переписать как два отдельных дифференциальных уравнения

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E,T(t)}

- ℏ 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}+V(x)\psi (x)=E,\psi (x)}

где первое уравнение зависит только от времени T ( t ) {\displaystyle T(t)} и второе уравнение зависит только от позиции ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}. и где E {\displaystyle E} - это всего лишь число. Первое уравнение можно решить сразу, чтобы дать

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}

где e {\displaystyle e} - это номер Эйлера. Решения второго уравнения зависят от функции потенциальной энергии, V( x ) {\displaystyle V(x)}. и поэтому не может быть решена до тех пор, пока эта функция не будет предоставлена. С помощью квантовой механики можно показать, что число E {\displaystyle E} на самом деле является энергией системы, поэтому эти разделяемые волновые функции описывают системы с постоянной энергией. Так как энергия является постоянной во многих важных физических системах (например: электрон в атоме), то часто используется второе уравнение набора разделенных дифференциальных уравнений, представленное выше. Это уравнение известно как уравнение Шредингера, не зависящее от времени, так как оно не включает t {\displaystyle t} .

Интерпретация волновой функции

Интерпретация родившихся

Существует множество философских интерпретаций волновой функции, и некоторые из ведущих идей будут рассмотрены здесь. Основная идея, называемая интерпретацией вероятности Борна (названа в честь физика Макса Борна), исходит из простой идеи, что волновая функция является квадратной интегрируемой, т.е.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }

Эта довольно простая формула имеет большие физические последствия. Родившаяся гипотеза предполагала, что вышеуказанный интеграл определяет, что частица существует где-то в пространстве. Но как мы можем ее найти? Мы используем интеграл

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}

где P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} - это вероятность нахождения частицы в регионе от b {\displaystyleb} до a {\displaystyle a} . Другими словами, все, что может быть заранее известно о частице в целом, - это вероятности, усреднения и другие статистические величины, связанные с ее физическими величинами (положение, момент и т.д.). В основном, это интерпретация Борна.

перевод в Копенгагене

Можно сделать продолжение вышеизложенных идей. Поскольку в интерпретации Born говорится, что фактическая позиция частицы не может быть известна, мы можем вывести следующее. Если Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} являются решениями волнового уравнения, то суперпозиция этих решений, т.е.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}

также является решением. Это означает, что частица существует во всех возможных позициях. Когда наблюдатель приходит и измеряет положение частицы, то суперпозиция сводится к одной возможной волновой функции. (т.е. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} где Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} - любое из возможных состояний волновой функции).) Эта мысль о том, что позиция частицы не может быть точно известна, и что частица существует в нескольких позициях одновременно, порождает принцип Uncertainty. Математическая формулировка этого принципа может быть дана следующим образом

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}

Где Δ x {\displaystyle \Delta x} - неопределенность позиции, а Δ p {\displaystyle \Delta p} - неопределенность момента. Этот принцип может быть математически выведен из преобразований Фурье между моментом и положением, определяемых квантовой механикой, но мы не будем выводить его в этой статье.

Другие интерпретации

Существуют различные другие интерпретации, такие как многослойная интерпретация миров и квантовый детерминизм.